Havil GAMMA

Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung
2007
ISBN: 978-3-540-48496-7
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 302 Seiten, eBook

Jeder kennt p = 3,14159…, viele kennen e = 2,71828…, einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156… - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.

Zielgruppe

Research

Autoren/Hrsg.

Havil, Julian

Weitere Mitwirkende

Stern, Manfred

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Vorwort des Übersetzers
Danksagungen
Einleitung
1 Die logarithmische Wiege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Ein mathematischer Albtraum – und ein Erwachen . . . . . . . . . 7
1.2 Des Barons wunderbarer Kanon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ein Hauch Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Ein Hauch Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Weitere Ideen Napiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Drei überraschende Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Subharmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Ein gemächlicher Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Harmonische Primzahlreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Die Kempnerreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Die Madelungschen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Zeta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Mit einer reellen Zahl x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Zwei abschließende Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Der Geburtsort von Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Ankunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Niederkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Exotische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Gamma trifft Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Komplement und Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Eulers wunderbare Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Ein erfülltes Versprechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Was ist Gamma . . . exakt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.1 Gamma existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3 Eine überraschend gute Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4 Der Ursprung einer großen Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 Gamma als Dezimalbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.1 Die Bernoull

Über Autor(innen)

Prof. Julian Havil, University of Winchester, United Kingdom