Buch, Deutsch, 48 Seiten, Paperback, Format (B × H): 155 mm x 235 mm, Gewicht: 102 g
ISBN: 978-3-642-49635-6
Verlag: Springer
Die von Cauchy 1814 begriindete Theorie der Funktionen einer komplexen Veranderlichen z= x+yi geht von gewissen Eigenschaften einer FunktionJ(z)= u(x,y);t-v(x,y)i aus, um daraus ihren analytischen Charakter, d. h. ihre Darstellung durch gewohnliche Potenzreihen, zu gewinnen. Wahrend aber Ca uch y dazu die Existenz und Stetigkeit der Ableitung J'(z) brauchte, bewiell Goursat 1900, daB auf die Stetigkeit, von!, (z) verzichtet werden kann. In der vorliegenden Schrift wid auch die Existenz vonI' (z) noch ausgellchahet und durch eine vielschwachere, aber unentbehrliche Bindung zwischen u und v ersetzt, um u+vi zu eincr analytischen Funktion von z zu machen. So wird hier ein Wun'sch erfiillt, in dem sich BoIza, wie er dem Verfasser erzahlte, 1912 in London mit Hil bert begegnete, daB namlich auch die Existenz von I' (z) durch gering ere Voraussetzungen ersetzt werden sollte. Diese ganze, n-unmehr abgeschlossene Entwicklung ist also reif fUr eine einheitliche selbstandige Darstellung, die zugleich eine Geschichte der Begriindung der Funktionen theorie ist. Nur 110 kommen auch die einzelrien Schritte, zumal der letzte hier von uns getane zur reohten Gehung. Diese Darstellung braucht den, iibrigens auch fiir Physik und Technik wichtigen Begriff des reellen und dam it des komplexen Kurvenintegrals, weil er in den alteren Arbeiten iiber den "Cauchyschen Integralsatz" cine bed~utende Rolle spielt und bei uns erst nachtraglich sich fur die Begriindung der Funktionentheorie als viillig entbehrlich erweist. Die De finition solcher Integrale, mit der wir deshalb beg inn en miis~en, kann.
Zielgruppe
Research
Autoren/Hrsg.
Weitere Infos & Material
I. Vorkenntnisse aus der Theorie der reellen Funktionen.- 1. Grenzwert einer unendlichen Folge.- 2. Intervall. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion einer Veränderlichen.- 3. Differentialquotient. Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 4. Bestimmtes Integral.- 5. Mittelwert (arithmetisches Mittel) der integrierbaren Funktion f(x) im Intervall (ab).- 6. Unbestimmtes Integral und Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 7. Integral eines Produktes.- 8. Paare von reellen Veränderlichen.- 9. Stetigkeit einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 10. Totale und partielle Differenzierbarkeit einer Funktion f(x,y).- II. Stetige rektifizierbare ebene Kurven.- 11. Stetige reelle Funktionen mit beschränkter Schwankung.- 12. Rektifizierbarkeit dieser Kurven.- 13. Folgerungen aus der Stetigkeit von C.- III. Das Kurvenintegral $$\int\limits_{a,\alpha }^{b,\beta } {\left( {f\left( {x,y} \right)dx + g\left( {x,y} \right)dy} \right)} $$.- 14. Existenz bei Stetigkeit von f(x,y) und g(x,y).- 15. Existenz des Kurvenintegrals bei Integrierbarkeit von f(x,y) und g(x,y).- 16. Folgerungen aus der Summenerklärung des Kurvenintegrals.- 17. Mittelwerte von f(x,y) und g(x,y) längs C.- 18. Approximation des Kurvenintegrals durch ein Treppenintegral.- 19. Fundamentalsatz der Integralrechnung, für Kurvenintegrale.- 20. Elementarer Integralsatz als Folgerung aus dem Fundamentalsatz.- 21. Partielle Integration.- 22. Das Kurvenintegral als Funktion der oberen Grenze.- IV. Kurvenintegral und Stieltjes-Integral.- 23. Jedes Kurvenintegral ein Stieltjes-Integral.- 24. Jedes Stieltjes-Integral mit stetiger Belegungsfunktion ein Kurvenintegral.- 25. Sätze über Stieltjes-Integrale aus solchen über Kurvenintegrale.- V. Der reelle Cauchysche Integralsatz.- 26. Beschränkung auf ein achsenparallelesRechteck.- 27. Der reelle Cauchysche Integralsatz bei den ältesten Voraussetzungen.- 28. Der reelle Cauchy-Goursatsche Integralsatz.- 29. Die achsenparallel eindeutige Integrierbarkeit von fdx+gdy als Voraussetzung.- VI. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- 30. Eindeutige Differenzierbarkeit einer Funktion der komplexen Veränderlichen z.- 31. Der komplexe Coursatsche Integralsatz.- 32. Achsenparallel eindeutige Integrierbarkeit von f(z) in einem Bereich G.- 33. Hauptsatz.- 34. Die Cauchysche Integralformel für f(z).- 35. Von der Integralformel zur Potenzreihendarstellung von f(z).- 36. Satz von Morera.- 37. Zusammenfassung für die Begründung der Funktionentheorie.- VII. Angaben über Originalliteratur mit erläuternden Bemerkungen.- Zu Kap. II.- Zu Kap. III — Zu Kap. IV — Zu Kap. V und VI: Historisches zum Cauchyschen Integralsatz und zur Begründung der Funktionentheorie.
