Korsch Mathematik mit 2x2-Matrizen

Ein Lehrbuch mit Beispielen und Übungsaufgaben
1. Auflage 2021
ISBN: 978-3-446-46805-4
Verlag: Carl Hanser
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 190 Seiten

Matrizen werden in vielfältiger Weise in Wirtschaft, Technik und Wissenschaft eingesetzt, um mathematische Operationen durchzuführen oder zu erleichtern. Sie ermöglichen eine einfache und übersichtliche Beschreibung komplexer mathematischer Zusammenhänge und sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra.


Dieses Lehrbuch vermittelt die notwendigen mathematischen Grundlagen, um Rechenoperationen mit einfachen sowie speziellen Matrizentypen durchzuführen. Zuerst werden die wichtigsten Grundlagen der Matrix-Algebra dargestellt, also das Rechnen mit Matrizen, die Rolle der Eigenwerte und Eigenvektoren und die wichtigsten Matrixtransformationen, Produktzerlegungen und Matrixfunktionen. Anschließend wird genauer auf spezielle Matrizentypen und Matrixgruppen sowie lineare Abbildungen eingegangen. Kapitel zu komplexen Zahlen, Quaterionen, Matrix-Gruppen und Lie-Algebren runden das Lehrbuch ab.


Es wendet sich in erster Linie an Studierende der Naturwissenschaften, insbesondere der Physik, zum Selbststudium oder als Begleitmaterial zu Vorlesungen, kann aber allen an den Methoden und Anwendungen der Matrizenrechung Interessierten gute Dienste leisten.


Das Schwergewicht der Darstellung liegt auf einer sorgfältigen Behandlung für die überschaubaren 2x2-Matrizen. Hier sind mathematische Beweise explizit ausgeführt, während auf höherdimensionale Verallgemeinerungen oft nur hingewiesen wird. In jedem Kapitel werden die mathematischen Theoreme und Methoden durch durchgerechnete Beispiele, Anwendungen und viele Übungsaufgaben (mit Lösungen) illustriert. Wesentlich mehr Anwendungsbeispiele, hauptsächlich aus den verschiedensten Gebieten der Physik, findet der interessierte Leser in dem parallel erschienenen Lehrbuch „Physik mit 2x2-Matrizen“.

Autoren/Hrsg.

Korsch, Hans Jürgen

Fachgebiete

• Mathematik | Informatik Mathematik Algebra Lineare und multilineare Algebra, Matrizentheorie
• Mathematik | Informatik Mathematik Mathematische Analysis Differentialrechnungen und -gleichungen
• Mathematik | Informatik Mathematik Mathematische Analysis Funktionalanalysis
• Mathematik | Informatik Mathematik Mathematik Allgemein Grundlagen der Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1;Inhalt;8
2;1 Matrizen: Grundlagen;12
2.1;1.1 Lineare Räume;12
2.2;1.2 Quadratische Matrizen;14
2.2.1;1.2.1 Determinante, Spur und Inverse;16
2.2.2;1.2.2 Matrizen und lineare Abbildungen;18
2.2.3;1.2.3 Blockmatrizen;19
2.3;1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren;22
2.3.1;1.3.1 Orthogonale Systeme von Eigenvektoren;26
2.3.2;1.3.2 Rechte und linke Eigenvektoren;27
2.4;1.4 Lösungen der Aufgaben;31
3;2 Transformationen, Matrixfunktionen und Metrik;38
3.1;2.1 Ähnlichkeitstransformation und Singulärwertzerlegung;38
3.1.1;2.1.1 Transformation auf Diagonalform;39
3.1.2;2.1.2 Singulärwertzerlegung;41
3.1.3;2.1.3 Die Jordan-Normalform;43
3.1.4;2.1.4 Die Jordan-Arnold kanonische Form;45
3.2;2.2 Matrixfunktionen;47
3.2.1;2.2.1 Elementare Matrixfunktionen;49
3.2.2;2.2.2 Matrixfunktionen und SN-Zerlegung;53
3.2.3;2.2.3 Matrixfunktionen und Jordan-Normalform;55
3.3;2.3 Metrik und Matrixnorm;56
3.3.1;2.3.1 Norm, Matrixnorm und Operatornorm;57
3.3.2;2.3.2 Koordinatensysteme und ihre Metrik;58
3.4;2.4 Lösungen der Aufgaben;62
4;3 Spezielle Matrizen und Matrixgruppen;68
4.1;3.1 Hermitesche Matrizen;68
4.1.1;3.1.1 Eigenwerte und Eigenvektoren;69
4.1.2;3.1.2 Berry-Phasen;71
4.2;3.2 Komplexe symmetrische Matrizen;73
4.3;3.3 Unitäre Matrizen;73
4.3.1;3.3.1 Orthogonale Matrizen;75
4.3.2;3.3.2 Eigenwerte und Eigenvektoren;77
4.4;3.4 Normale Matrizen;78
4.5;3.5 Symplektische Matrizen;78
4.5.1;3.5.1 Reelle symplektische Matrizen;80
4.5.2;3.5.2 Pseudounitäre Matrizen;81
4.5.3;3.5.3 Pseudoorthogonale Matrizen;83
4.6;3.6 Matrixgruppen;84
4.6.1;3.6.1 Matrix-Lie-Gruppen;86
4.6.2;3.6.2 Lie-Gruppen und Lie-Algebren;90
4.6.3;3.6.3 Lie-Algebren;91
4.7;3.7 Positive Matrizen;93
4.8;3.8 Lösungen der Aufgaben;94
5;4 Matrizen als lineare Abbildungen;98
5.1;4.1 Abbildung durch eine Defektmatrix;99
5.2;4.2 Abbildung durch eine invertierbare Matrix;100
5.2.1;4.2.1 Spezielle einfache Abbildungen;104
5.2.2;4.2.2 Translationen und affine Abbildungen;108
5.2.3;4.2.3 Abbildungen und Singulärwertzerlegung:;109
5.2.4;4.2.4 Invariante Mengen;110
5.2.5;4.2.5 Homogene Darstellung;111
5.3;4.3 Der Wertebereich;112
5.4;4.4 Lösungen der Aufgaben;115
6;5 Komplexe Zahlen und Quaternionen;120
6.1;5.1 Komplexe Zahlen;121
6.2;5.2 Pseudokomplexe Zahlen;124
6.3;5.3 Quaternionen & Co.;127
6.3.1;5.3.1 Quaternionen;127
6.3.2;5.3.2 Koquaternionen;133
6.3.3;5.3.3 Bikomplexe Zahlen;135
6.3.4;5.3.4 Biquaternionen;137
6.3.5;5.3.5 Oktonionen;139
6.4;5.4 Pseudokomplexe und quaternionische Matrizen;139
6.4.1;5.4.1 Komplexe und pseudokomplexe Matrizen;139
6.4.2;5.4.2 Quaternionische und koquaternionische Matrizen;141
6.5;5.5 Lösungen der Aufgaben;145
7;6 Matrix-Algebren und Lie-Algebren;150
7.1;6.1 Algebren;150
7.2;6.2 Lie-Algebren;152
7.2.1;6.2.1 Die Gruppe bold0mu mumu SU(2)SU(2)dottedSU(2)SU(2)SU(2)SU(2) und die Algebra bold0mu mumu su(2)su(2)dottedsu(2)su(2)su(2)su(2);154
7.2.2;6.2.2 Die Gruppe bold0mu mumu SU(1,1)SU(1,1)dottedSU(1,1)SU(1,1)SU(1,1)SU(1,1) und die Algebra bold0mu mumu su(1,1)su(1,1)dottedsu(1,1)su(1,1)su(1,1)su(1,1);155
7.2.3;6.2.3 Kanonische Ähnlichkeitstransformationen;156
7.2.4;6.2.4 Exponentielle Operatorprodukte;157
7.3;6.3 Geometrisches Produkt und die Geometrische Algebra;158
7.3.1;6.3.1 Die geometrische Algebra der Ebene;160
7.3.2;6.3.2 Die geometrische Algebra des Raumes;162
7.3.3;6.3.3 Die Isometrien des bold0mu mumu R3R3dottedR3R3R3R3;168
7.3.4;6.3.4 Matrixdarstellung der geometrischen Algebra;169
7.4;6.4 Lösungen der Aufgaben;171
8;A Vermischtes;176
8.1;A.1 Quadratische Formen;176
8.2;A.2 Das Kronecker-Produkt;177
8.2.1;A.2.1 Quadratische Matrizen;179
8.2.2;A.2.2 Matrix-Vektor-Transformation;180
8.3;A.3 Gauß-Integrale;181
8.4;A.4 Lösungen der Aufgaben;182
9;Index;184

Über Autor(innen)

Korsch, Hans Jürgen
Prof. Dr. Hans Jürgen Korsch war an der TU Kaiserslautern im Fachbereich Physik tätig und hielt Vorlesungen in den Bereichen Theoretische Physik und Computational Physics. Seine Forschungsschwerpunkte sind Quantendynamik atomarer und molekularer Systeme, insbesondere Anregungs- und Zerfallsprozesse in starken Laserfeldern, chaotische Dynamik in Quantensystemen sowie Dynamik von Bose-Einstein-Kondensaten in angetriebenen optischen Gittern.